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2023-04-19 00:01:27 +08:00

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本文主要讲解定积分在计算时运用的各种化简技巧。

一：由不定积分计算定积分

1.1原函数成立区间的问题

注意：由不定积分推导出的原函数在定积分的区间不一定成立！！！
对于大多数定积分题目，可直接由代入不定积分的结论。

二：利用对称性化简定积分

2.1奇偶对称和周期性

命题1：设函数f在区间$[0,a]$可积，且关于区间中点$\frac{a}{2}$为奇函数，即对于$x\in[0,a]$，有$f(x)=-f(a-x)$，则成立
$\int_0^af(x)dx=0$。
命题2：设函数f在区间$[0,a]$可积，且关于区间中点$\frac{a}{2}$为偶函数，即对于$x\in[0,a]$，有$f(x)=f(a-x)$，则成立
$\int_0^af(x)dx=2\int_0^{\frac{a}{2}}f(x)dx$。
命题3：若函数f为定义在$-\infty<x<+\infty$上的周期为T的连续周期函数，即$f(x)$满足：$f(x)=f(x+T)$，则成立
$\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx$
Proof：
将积分区间拆成多段，带入上文对称公式，之后换元即可，证明的本质是统一了积分区间。
_Example：
\int_0^{2\pi}\frac{dx}{sin^4x+cos^4x}

利用：$sin^4x+cos^4x=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1-\frac{1}{2}sin^2(2x)=\frac{1}{2}(1+cos^2(2x))$，周期为$\pi/2$
两次利用命题3，将积分区间化简为$[0,\frac{\pi}{2}]$。由于被积函数关于$\pi/4$偶对称，利用命题2，可将积分区间化简为$[0,\frac{\pi}{4}]$，故原式等于：
$4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{sin^4x+cos^4x}=8\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{sin^4x+cos^4x}=16\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{1+cos^2(2x)}=8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{1+cos^2(t)}=8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(tant)}{2+tan^2t}$
$=8\int_{0}^{+\infty}\frac{du}{u^2+2}=4\sqrt{2}arctan(\frac{u}{\sqrt{2}})|0^{+\infty}=2\sqrt{2}\pi$

2.2积分区间的缩小

命题4：设f在$[0,a]$上可积，则成立$\int_0^af(x)dx=\int_0^{\frac{a}{2}}[f(x)+f(a-x)]dx$，此为命题1,2的推广形式。
可推广为：$\int_a^bf(x)dx=\int_a^{\frac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]dx$，该命题在$f(x)+f(a+b-x)$更好积分时使用。
Proof：
反向利用命题2，$\int_0^af(x)dx=\frac{1}{2}(\int_0^af(x)dx+\int_0^af(a-x)dx)=\int_0^{\frac{a}{2}}[f(x)+f(a-x)]dx$
命题5：若f(x)在闭区间$[0,1]$上连续，则
（a）$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx$
（b）$\int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(sinx)dx$
（c）$\int_0^{\pi}f(sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx$
Proof：**
（a）$x=\pi/2-t$，（b）$x=\pi-t$，（c）$t=x-\pi/2$
也可由命题4直接推出，如对于（b）
$\int_0^{\pi}(x-\pi/2)f(sinx)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(x-\pi/2+\pi-x-\pi/2)f(sinx)dx=0$
Example1：
（a）$\int_0^{\pi/2}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$ （b）$\int_0^{\pi/2}ln(sinx)dx$ （c）$\int_0^{\pi/2}ln(tanx)dx$
（d）$\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+tan^ax}dx$ （e）$\int_0^{\pi}\frac{xsinx}{1+cos^2x}dx$ （f）$\int_0^1\frac{lnx}{\sqrt{1-x^2}}dx$
例如，对于b，利用命题4，$\int_0^{\frac{\pi}{4}}[ln(sin(x))+ln(cos(x))]dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}[ln(sin(2x)/2]dx$
$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}[ln(sin(2x))-ln(2)]dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(x))dx-\frac{\pi}{4}ln2=-\frac{\pi}{2}ln2$
Example2：
设$f(x)$在$[a,b]$上连续且单调增加，证明：$\int_a^bxf(x)dx\geq\frac{a+b}{2}\int_a^bf(x)dx$
$\int_a^b(x-\frac{a+b}{2})f(x)dx=\int_a^{\frac{a+b}{2}}[(x-\frac{a+b}{2})f(x)+(a+b-x-\frac{a+b}{2})f(a+b-x)]dx$
$=\int_a^{\frac{a+b}{2}}(x-\frac{a+b}{2})[f(x)-f(a+b-x)]dx$
因为$f(x)$单增，所以$f(x)-f(a+b-x)\leq0$，原式大于等于0，证毕。

三：利用递归表达式化简定积分

注意：全部利用分部积分构造递推表达式，使得分部积分脱出积分号的项为0，对积分内指数进行降阶即可。

3.1高阶三角函数

$I_0=\int_0^{\pi/2}dx=\pi/2$，$I_1=\int_0^{\pi/2}sinxdx=1$，$I_2=\int_0^{\pi/2}sin^2xdx=\pi/4$
思考：如果$I_n$为一数列$I_n=\int_0^{\pi/2}sin^nxdx$，请问
（1）$I_n$的递推表达式为？
（2）$I_n$的通项表达式为？
（3）$I_n(n\to\infty)$的极限为？
（4）求$\lim_{k\to\infty}\frac{I_{2k+1}}{I_{2k}}$？
答案：
（1），（2）

推论：由命题4得，对cosx做上述操作得到结果相同。
（3）$I_n(n\to\infty)$的极限为0，如图为$sin^n(x)在[0,1]$的函数图像，因为$sin^n(x)<x^n<1$，所以函数在[0,1]为0，在x=1处为1，为非一致收敛的情况。，因此分成两段进行证明。

证明：
法一：积分的有界性

这里第二项趋于0是因为$sin^n(x)\to0$，从图中也可以观察出来。
法二：
$if\ n=2k$
$I_{2k}=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}=\frac{(2k-1)\cdot(2k-3)\cdot\cdot\cdot5\cdot3\cdot1}{(2k)(2k-2)\cdot\cdot\cdot6\cdot4\cdot2}\cdot\frac{\pi}{2}$
$0<I_{2k}^2=\frac{1\cdot 3}{2^2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4^2}\cdot\cdot\frac{(2k-3)(2k-1)}{(2k-2)^2}\cdot \frac{2k-1}{(2k)^2}\cdot\frac{\pi^2}{4}<\frac{2k-1}{(2k)^2}\cdot\frac{\pi^2}{4}\to0$
$\therefore I_{2k}\to0$
$\therefore I_{2k+1}=\int_0^{\pi/2}sinx\cdot sin^{2k}xdx=sinx_0\cdot\int_0^{\pi/2}sin^{2k}xdx\to0$
$\therefore I_{n}\to0$
（4）

维基百科：沃利斯乘积
3B1B：沃利斯乘积的几何解释

3.2组合三角函数

注意：此类题一律用分部积分画出和原被积函数相关的表达式，但不一定是相等，以实现得到递推关系降阶的目的。
Example：
求 $L_n=\int_0^{\pi/2}cos^n(x)cos(nx)dx$ 的递归表达式和通项
$=\frac{1}{n}\int_0^{\pi/2}cos^n(x)dsin(nx)=\frac{1}{n}(cos^n(x)sin(nx)|0^{\pi/2}-\frac{1}{n}\int_0^{\pi/2}nsin(nx)cos^{n-1}(x)(-sin(x))dx$
$=\int_0^{\pi/2}cos^{n-1}(x)sin(nx)sin(x)dx$
$2L_n=\int_0^{\pi/2}[cos^{n-1}(x)sin(nx)sin(x)+cos^n(x)cos(nx)]dx=\int_0^{\pi/2}cos^{n-1}(x)(cos(nx)cos(x)+sin(nx)sin(x))dx$$=\int_0^{\pi/2}cos^{n-1}(x)cos((n-1)x)dx=L{n-1}$
所以 $L_n=\frac{1}{2}L_{n-1}$ 而$L_1=\int_0^{\pi/2}cos(x)cos(x)dx=\pi/4$
所以数列的通项表达式为：L_n=\frac{\pi}{2^{n+1}}

3.3其他函数

Example：
求 $I_n=\int_0^1x^m(ln(x))^ndx$ 的递推表达式和通项。

Exercise:
_（3）求$a_n$的极限



（3）结果为0，证法和高阶三角函数一样。

四：利用级数对定积分进行估值

4.1常用的几种级数

基本的思路是：把函数做泰勒展开，交换积分和求和符号，对每一项幂函数进行积分，最后合并即可。
下面给出三个重要常数：

（a）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ （b）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=ln2$ （c）\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2m-1)^2}\approx0.92

此类级数可由初等函数泰勒展开后将x=1或x=-1代入得到。

这里给出简单的证明：
（a）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

（b）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=ln2$

（c）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2m-1)^2}\approx0.92$
$\int_0^1\frac{arctan(x)}{x}dx=\int_0^1\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}dx=\int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}\int_0^1x^{2n}dx$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^2}x^{2n+1}|0^1=\sum{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^2}=G\approx0.92$ （这可以利用计算机对此积分估值得到）

在计算积分时，通常通过上述思路把积分化为上述重要常数，进而直接得出结果。

4.2将定积分转换为级数

Example1：重要常数（a）
$\int_0^1ln(x)ln(1-x)dx$
答案：
视频链接
Example2：重要常数（c）
（a） $\int_0^{\pi/4}ln(tan(x))dx$ （b） $\int_0^{\pi/4}ln(cot(x))dx$
对于（a），令$t=tan(x)$ ，换元后可得：
\int_0^1ln(t)d arctan(t)=[ln(t)arctan(t)]|_0^1-\int_0^1arctant\frac{dt}{t}=-\int_0^1arctant\frac{dt}{t}=-G\approx-0.92

五：特殊积分

5.1伽马函数

维基百科点击下方链接：
WIKI百科
下面为详细的视频教程
1：定义伽马函数
视频链接
2：$(\frac{1}{2})!$
视频链接
3：$(-1)!$
视频链接
4：$n!!$
视频链接

5.2分段函数积分

此类题目的关键是原函数的连续性要求，通过待定系数求解，具体见不定积分中的特殊积分部分。

5.3变限积分

形如$I(x)=\int_a^xf(t)dt$ 的积分叫做变限积分，他的本质是一个自变量在积分限的函数。
变限积分的求导法则尤其重要。此类题目需要扎实的数学分析思想，极其易错，具体内容见积分证明框架。

5.4反常积分

具体内容见积分证明框架

六：定积分的应用

我们可以看到定积分的本质就是微元法取极限，所以一些几何和物理问题都可以用微元法的思想解决。
Example1：
已知一段半圆弧电荷密度为+1，计算圆心处的电场强度。

注意，这类题目直接用几何解法更快，由库仑定律得，两段对称的微弧对圆心的电场作用为：
$\Delta E=2\Delta E'cos\theta=\frac{2k\Delta lcos\theta}{R^2}=\frac{2k\Delta r}{R^2}$
$\Delta r$代表上图小三角形垂直部分，$\sum \Delta r=R$ ，所以：
$E=\sum\Delta E=\frac{2k}{R^2}\sum\Delta r=\frac{2k}{R}$
Example2：
我们可以利用微元法找到极坐标的面积公式

6.1几何问题

6.1.1向量簇

请下载：New horizons in geometry(几何新视野).pdf阅读第一章。
这里只讲一个拓扑定理：切线向量扫过的面积等于将这些向量在不改变方向和长度的情况下，将所有的向量尾部接到一起时所组成的图形的面积相等。即切线扫过的面积等于切线簇的面积，如图所示。

想象一辆自行车，其尾部车轮始终与某一闭合轨迹相切，也就是骑了一圈，那么无论骑行轨迹如何，自行车车身划过的面积始终不变。如上图所示，将一簇切线在不改变方向和长度的情况下尾部连接在一起，他们所组成的形状面积和原来扫过的面积相同，且原来图形的形状可以任意。
和开普勒第二定律及椭圆面积的关系：视频链接
Example3：
利用该定理证明$\int_{-\infty}^{x}e^{t/b}dt=be^{x/b}$

显然，所有切线构成的三角形底边长度都是1，把所有的切线全部放到黄色三角形内，尾部连接在一起，就得到积分的面积是两倍三角形的面积，即$be^{x/b}$。
Example4：
利用该定理求摆线下方的面积。

摆线相关知识点击：维基百科

由于PT垂直于PC（在圆内），又因为点P在每个瞬时相对于点C做圆周运动，所以PT必然是点P的切向运动方向，所以PT也是摆线的切线，DOT的面积（及切线扫过的面积）等于右图中切线簇的面积（将所有切线平移到点T）。更具体的说，圆在运动时，点P划过了一段圆弧，在每一个中间点，都可以做线段PT，线段PT既扫过了DOT，也同时覆盖了T'P'C'，故两者面积相等。
当圆旋转一周时，切线划过了整个摆线上方的面积，这面积等于切线簇的面积$\pi R^2$，而整个矩形的面积是$2\pi R\cdot 2R=4\pi R^2$，所以摆线下方的面积为$4\pi R^2-\pi R^2=3\pi R^2$。
利用参数方程的证明方法见下文。

6.1.2体积

这里依然是微元法，我们讲两种求旋转体体积的方法：切片法和圆柱法
切片法：

A(x)就是x处物体的面积，$\Delta x$就是高度，两者相乘就是和x有关的一个体积微元，求和或积分后就得到了整个体积。
Example5：
求$y=x$和$y=x^2$中间的部分绕$y=2$旋转一周所得到的图像的体积。

本题的关键是千万不要把正负号弄错，x和y的正负号永远是对原始图像而言的！！！

Example6：
求$y=x$和$y=x^2$中间的部分绕$x=-1$旋转一周所得到的图像的体积。

圆柱法：

如图所示，$x_L和x_R$比较难求，当边界无法被解析式表达时，我们对垂直于旋转轴的底面做圆柱分解。

一小段圆柱的体积=底面积：$2\pi xdx$ 乘以高：$f(x)$，之后对自变量求积分。
Example7：

注意：在本题中，圆柱法比切片法简单的多，由于不用求边界，对于具体的题目，根据情况选择两种方法即可。_

6.1.3弧长和表面积

求弧长的方法十分显然，该方法也适用于极坐标，只需用微元法得到公式。

求表面积的方法也是微元法，如下图所示：

已知圆锥表面积是$\pi rl$，现在试图求解一段圆台的表面积，它等于两个圆锥相减。

如上图所示，将任意旋转体分成无数小圆台，进行求和即可（这里为什么不能用圆柱做微元法？）。

最后我们得到了表面积的表达式：

Example8：

6.1.4极坐标和参数方程

参数方程：
参数方程本质就是把x和y想成某个变量t的函数，利用链式法则可以把微积分的计算用参数方程实现。
微分：

求面积：

求长度：

Example9：
我们以摆线为例，将摆线方程建模为关于转动角度的函数，如下图所示。

摆线的面积：方法只是简单的换元。

摆线的周长：

摆线相关知识点击：维基百科
摆线的本质是最速降线，请看3B1B的视频：视频链接
另一个相关视频：费马小定理
极坐标：
极坐标求面积公式前面已给出：

求弧长的公式推导依然是微元法：

更直观的方法是：弧长显然等于径向速度与法向速度之和。$\Delta l=\sqrt{(dr)^2+(rd\theta)^2}$
Example10：

Example11：
本题请务必自己手算一遍。

6.2物理问题

6.2.1质心

质心和势相关，是力学中研究旋转的概念，质心和势一般来说是对于某个转轴的定义。
质心是一个点，在这点上施加外力不会引起系统的旋转。
势是物体旋转的惯性，表示在施加外力后系统旋转的能力。
如上图所示，区域R具有恒定密度，它相对于y轴和x轴的势计算方法如下：
（相当于每个矩形到y轴距离x乘以每个矩形面积f(x)dx）
（相当于每个矩形中点到x轴距离f(x)/2乘每个矩形面积f(x)dx）
上式除以总质量就得到了质心：

Example12：