fix: 4.7 图网络 latex

4.人工智能/4.7图网络略述（intro&GCN）.md

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 # 图网络略述（intro&GCN）
 
-author:廖总
+> author：廖总
 
 其实开始冲图神经网络也已经有一段时间了，从半年前阅览《Relational inductive biases, deep learning, and graph networks》一文，对图网络有了一定的了解，到现在已经过去半年了。然而这半年中我一直在摸鱼，就算偶尔复习图神经网络的方法，也一直在复习相同的工作。如今有幸受实验室隔座的兄弟邀请参与一个科研项目。比较尴尬的是，我除了自诩知晓图网络以外，对实际的操作与应用一无所知。我遂写下这篇文章，来昭示自己正式开始图网络的学习，并且尝试记录和融汇已知的知识点，不在浪费时间于重复的工作上。
 
@@ -14,22 +14,15 @@ author:廖总
 
 ## 消息传递
 
-那么，消息是什么呢？在大多数时候，我们将消息理解为节点（但其实在特定场合，边或者全局信息都是可以或者需要考虑的），即“实体”包含的，要传递的信息。对于一个结构相对复杂的节点而言，假设其拥有 n 个属性，我们便用一个 n 维的向量（或是其他什么）
+那么，消息是什么呢？在大多数时候，我们将消息理解为节点（但其实在特定场合，边或者全局信息都是可以或者需要考虑的），即“实体”包含的，要传递的信息。对于一个结构相对复杂的节点而言，假设其拥有 n 个属性，我们便用一个 n 维的向量（或是其他什么）$\mathbf{x}$表示节点中储存的信息。然后，节点上的信息要怎么传递呢？
-$\mathbf{x}$
-
-表示节点中储存的信息。然后，节点上的信息要怎么传递呢？
 
 答案必然是通过节点之间的连接。
 
-在离散数学中，我们使用邻接矩阵来刻画图上所有节点之间的联系，即 Adjacency Matrix，记作
+在离散数学中，我们使用邻接矩阵来刻画图上所有节点之间的联系，即 Adjacency Matrix，记作$\mathbf{A}$。在不考虑边权重的情况下，我们将存在节点$x_{i},x_{j}$之间的联系表示为$A_{ij}=1$，在存在权重的情况下，我们将$A_{ij}$的值记作两节点之间边的权重。值得注意的是，$\mathbf{A}$对角线上的值，即节点之间自连接的系数，在不做考虑自连接时都被记作 $0$ 。
-$\mathbf{A}$。在不考虑边权重的情况下，我们将存在节点$x_{i},x_{j}$之间的联系表示为$A_{ij}=1$，在存在权重的情况下，我们将$A_{ij}$的值记作两节点之间边的权重。值得注意的是，$\mathbf{A}$对角线上的值，即节点之间自连接的系数，在不做考虑自连接时都被记作 0。
 
-另外，我们特殊定义节点的度为该点所有连接权重之和，即$D_i=\sum_{j=0}^n A_{ij} $，使用对角矩阵$\mathbf{D}=diag(D_1,D_2,\cdots,D_n)$
+另外，我们特殊定义节点的度为该点所有连接权重之和，即$D_i=\sum_{j=0}^n A_{ij} $，使用对角矩阵$\mathbf{D}=diag(D_1,D_2,\cdots,D_n)$进行统一描述。
-进行统一描述。
-
-如此，我们便通过了两个矩阵刻画了一张图上所有节点之间的传递关系。为了方便计算，以及因为种种特性，一张图最终的传递特性，被描述成了拉普拉斯矩阵
-$\mathbf{L}=\mathbf{D}-\mathbf{A}$
 
+如此，我们便通过了两个矩阵刻画了一张图上所有节点之间的传递关系。为了方便计算，以及因为种种特性，一张图最终的传递特性，被描述成了拉普拉斯矩阵$\mathbf{L}=\mathbf{D}-\mathbf{A}$。
 
 我们通过拉普拉斯矩阵 $L$ 来考虑图上的消息传递特性。
 
@@ -67,7 +60,7 @@ $$
 \mathbf{L}^{sym}=\mathbf{D}^{-1}\mathbf{L}=\mathbf{I}-\mathbf{D}^{-1}\mathbf{A}
 $$
 
-，不过我还不熟，暂时不管了
+，不过我还不熟，暂时不管了。
 
 ## 图的频域表示
 
@@ -75,11 +68,10 @@ $$
 
 为了直观地对描述信号传播的图进行直观的“卷积滤波（需要注意的是，这里的卷积就不是图像意义上的卷积了，而是信号意义的卷积。但是在实际运用中图的卷积表示的也是信号在相邻图节点上的传播，这又与图像的卷积有着异曲同工之妙，那么新的问题来了，信号卷积和图像卷积是否也存在着什么物理层面上的联系？）”我们通过特征分解，获取图的“频谱”，从这边开始，便是 Spectral Graph Convolution 的思想了。
 
-我们将 L 矩阵进行特征分解，有
+我们将 L 矩阵进行特征分解，有$\mathbf{L}=\mathbf{U}\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{U}^\mathsf{T}$,其中特征值描述的是图像的频谱强度，而特征向量描述了分解的基底，即频率，对应频谱分析中的$e^{-j\omega t}$。
 
-$\mathbf{L}=\mathbf{U}\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{U}^\mathsf{T}$,其中特征值描述的是图像的频谱强度，而特征向量描述了分解的基底，即频率，对应频谱分析中的$e^{-j\omega t}$。
+于是，我们考虑滤波和滤波器，我们设计$g\theta=diag(\theta)$，有滤波器改变了基底上信号的强度，即有$g\theta(\Lambda)$为特征值的函数。我们有$g\theta$在图$\mathbf{L}$上对输入信号$x$的卷积等于$g\theta$、$x$在频域相乘：
-
+$g\theta\star
-于是，我们考虑滤波和滤波器，我们设计$g\theta=diag(\theta)$，有滤波器改变了基底上信号的强度，即有$g\theta(\Lambda)$为特征值的函数。我们有$g\theta$在图$\mathbf{L}$上对输入信号$x$的卷积等于$g\theta$、$x$在频域相乘：$g\theta\star
 x=\mathbf{U}g\theta\mathbf{U}^\mathsf{T}x
 $
 
@@ -126,23 +118,31 @@ $$
 ，并对其中无关输入信号 $x$ 的部分进行改写
 
 
-$$\mathbf{U}\begin{matrix}\sum_{k=0}^K
+$$
+\mathbf{U}\begin{matrix}\sum_{k=0}^K
 \beta_kT_k(\hat{\Lambda})
 \mathbf{U}^\mathsf{T}
-\end{matrix}\\$$
+\end{matrix}
+$$
 
 $$
 =\begin{matrix} \sum_{k=0}^K
 \mathbf{U}\beta_k(\begin{matrix}\sum_{c=0}^k\alpha_{kc}\hat{\Lambda^k}
 \end{matrix}\mathbf{U}^\mathsf{T})
-\end{matrix}\\
+\end{matrix}
+$$
+$$
 =\begin{matrix} \sum_{k=0}^K\beta_k(\begin{matrix}\sum_{c=0}^k\alpha_{kc}(\mathbf{U}\hat{\Lambda}
 \mathbf{U}^\mathsf{T})^k
 \end{matrix})
-\end{matrix}\\
+\end{matrix}
+$$
+$$
 =\begin{matrix} \sum_{k=0}^K\beta_kT_k(\mathbf{U}\hat{\Lambda}
 \mathbf{U}^\mathsf{T})
-\end{matrix}\\
+\end{matrix}
+$$
+$$
 =\begin{matrix} \sum_{k=0}^K\beta_kT_k(\hat{\mathbf{L}})
 \end{matrix}
 $$
@@ -212,7 +212,7 @@ $$
 \end{matrix}
 $$
 
-，作为传播的预处理部分，由此得到了 GCN 的完整数学表示，有着
+作为传播的预处理部分，由此得到了 GCN 的完整数学表示。
 
 ### 损失函数