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copyright: 'Copyright © 2023-present Evan You && HDU 计算机科协 && ALL 协作者'
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8.基础学科/8.2定积分.md
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本文主要讲解定积分在计算时运用的各种化简技巧。
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# 一：由不定积分计算定积分
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## 1.1原函数成立区间的问题
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注意：由不定积分推导出的原函数在定积分的区间不一定成立！！！<br />对于大多数定积分题目，可直接由代入不定积分的结论。
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<a name="JXXVa"></a>
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# 二：利用对称性化简定积分
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## 2.1奇偶对称和周期性
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<br />命题1：设函数f在区间$[0,a]$可积，且关于区间中点$\frac{a}{2}$为奇函数，即对于$x\in[0,a]$，有$f(x)=-f(a-x)$，则成立<br />$\int_0^af(x)dx=0$。<br />命题2：设函数f在区间$[0,a]$可积，且关于区间中点$\frac{a}{2}$为偶函数，即对于$x\in[0,a]$，有$f(x)=f(a-x)$， 则成立<br />$\int_0^af(x)dx=2\int_0^{\frac{a}{2}}f(x)dx$。<br />命题3：若函数f为定义在$-\infty<x<+\infty$上的周期为T的连续周期函数，即$f(x)$满足：$f(x)=f(x+T)$，则成立<br />$\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx$<br />**_Proof：_**<br />将积分区间拆成多段，带入上文对称公式，之后换元即可，证明的本质是统一了积分区间。<br />_**Example：**<br />$\int_0^{2\pi}\frac{dx}{sin^4x+cos^4x}$
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利用：$sin^4x+cos^4x=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1-\frac{1}{2}sin^2(2x)=\frac{1}{2}(1+cos^2(2x))$，周期为$\pi/2$<br />两次利用命题3，将积分区间化简为$[0,\frac{\pi}{2}]$。由于被积函数关于$\pi/4$偶对称，利用命题2，可将积分区间化简为$[0,\frac{\pi}{4}]$，故原式等于：<br />$4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{sin^4x+cos^4x}=8\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{sin^4x+cos^4x}=16\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{1+cos^2(2x)}=8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dt}{1+cos^2(t)}=8\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d(tant)}{2+tan^2t}$<br />$=8\int_{0}^{+\infty}\frac{du}{u^2+2}=4\sqrt{2}arctan(\frac{u}{\sqrt{2}})|_0^{+\infty}=2\sqrt{2}\pi$_
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<a name="KG0We"></a>
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## 2.2积分区间的缩小
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命题4：设f在$[0,a]$上可积，则成立$\int_0^af(x)dx=\int_0^{\frac{a}{2}}[f(x)+f(a-x)]dx$，此为命题1,2的推广形式。<br />可推广为：$\int_a^bf(x)dx=\int_a^{\frac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]dx$，该命题在$f(x)+f(a+b-x)$更好积分时使用。<br />**_Proof：_<br />反向利用命题2，$\int_0^af(x)dx=\frac{1}{2}(\int_0^af(x)dx+\int_0^af(a-x)dx)=\int_0^{\frac{a}{2}}[f(x)+f(a-x)]dx$<br />命题5：若f(x)在闭区间$[0,1]$上连续，则<br />（a）$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx$<br />（b）$\int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(sinx)dx$<br />（c）$\int_0^{\pi}f(sinx)dx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx$<br />**_Proof：_**<br />（a）$x=\pi/2-t$，（b）$x=\pi-t$，（c）$t=x-\pi/2$<br />也可由命题4直接推出，如对于（b）<br />$\int_0^{\pi}(x-\pi/2)f(sinx)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(x-\pi/2+\pi-x-\pi/2)f(sinx)dx=0$<br />_**Example1：**_<br />（a）$\int_0^{\pi/2}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$ （b）$\int_0^{\pi/2}ln(sinx)dx$ （c）$\int_0^{\pi/2}ln(tanx)dx$<br />（d）$\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+tan^ax}dx$ （e）$\int_0^{\pi}\frac{xsinx}{1+cos^2x}dx$ （f）$\int_0^1\frac{lnx}{\sqrt{1-x^2}}dx$<br />例如，对于b，利用命题4，$\int_0^{\frac{\pi}{4}}[ln(sin(x))+ln(cos(x))]dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}[ln(sin(2x)/2]dx$<br />$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}[ln(sin(2x))-ln(2)]dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}ln(sin(x))dx-\frac{\pi}{4}ln2=-\frac{\pi}{2}ln2$<br />_**Example2：**_<br />设$f(x)$在$[a,b]$上连续且单调增加，证明：$\int_a^bxf(x)dx\geq\frac{a+b}{2}\int_a^bf(x)dx$<br />$\int_a^b(x-\frac{a+b}{2})f(x)dx=\int_a^{\frac{a+b}{2}}[(x-\frac{a+b}{2})f(x)+(a+b-x-\frac{a+b}{2})f(a+b-x)]dx$<br />$=\int_a^{\frac{a+b}{2}}(x-\frac{a+b}{2})[f(x)-f(a+b-x)]dx$<br />因为$f(x)$单增，所以$f(x)-f(a+b-x)\leq0$，原式大于等于0，证毕。
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<a name="ScUek"></a>
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# 三：利用递归表达式化简定积分
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注意：全部利用分部积分构造递推表达式，使得分部积分脱出积分号的项为0，对积分内指数进行降阶即可。
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<a name="3sJIQ"></a>
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## 3.1高阶三角函数
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$I_0=\int_0^{\pi/2}dx=\pi/2$，$I_1=\int_0^{\pi/2}sinxdx=1$，$I_2=\int_0^{\pi/2}sin^2xdx=\pi/4$<br />思考：如果$I_n$为一数列$I_n=\int_0^{\pi/2}sin^nxdx$，请问<br />（1）$I_n$的递推表达式为？<br />（2）$I_n$的通项表达式为？<br />（3）$I_n(n\to\infty)$的极限为？<br />（4）求$\lim_{k\to\infty}\frac{I_{2k+1}}{I_{2k}}$？<br />答案：<br />（1），（2）<br />
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推论：由命题4得，对cosx做上述操作得到结果相同。<br />（3）$I_n(n\to\infty)$的极限为0，如图为$sin^n(x)在[0,1]$的函数图像，因为$sin^n(x)<x^n<1$，所以函数在[0,1]为0，在x=1处为1，为非一致收敛的情况。，因此分成两段进行证明。<br /><br />证明：<br />法一：积分的有界性<br /><br />这里第二项趋于0是因为$sin^n(x)\to0$，从图中也可以观察出来。<br />法二：<br />$if\ n=2k$<br />$I_{2k}=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}=\frac{(2k-1)\cdot(2k-3)\cdot\cdot\cdot5\cdot3\cdot1}{(2k)(2k-2)\cdot\cdot\cdot6\cdot4\cdot2}\cdot\frac{\pi}{2}$<br />$0<I_{2k}^2=\frac{1\cdot 3}{2^2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4^2}\cdot\cdot\frac{(2k-3)(2k-1)}{(2k-2)^2}\cdot \frac{2k-1}{(2k)^2}\cdot\frac{\pi^2}{4}<\frac{2k-1}{(2k)^2}\cdot\frac{\pi^2}{4}\to0$<br />$\therefore I_{2k}\to0$<br />$\therefore I_{2k+1}=\int_0^{\pi/2}sinx\cdot sin^{2k}xdx=sinx_0\cdot\int_0^{\pi/2}sin^{2k}xdx\to0$<br />$\therefore I_{n}\to0$<br />（4）<br /><br />维基百科：[沃利斯乘积](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%83%E5%88%A9%E6%96%AF%E4%B9%98%E7%A7%AF)<br />3B1B：[沃利斯乘积的几何解释](https://www.bilibili.com/video/av22808876/)
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<a name="RTgjo"></a>
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## 3.2组合三角函数
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注意：此类题一律用分部积分画出和原被积函数相关的表达式，但不一定是相等，以实现得到递推关系降阶的目的。<br />_**Example：**_<br />求 $L_n=\int_0^{\pi/2}cos^n(x)cos(nx)dx$ 的递归表达式和通项<br />$=\frac{1}{n}\int_0^{\pi/2}cos^n(x)dsin(nx)=\frac{1}{n}(cos^n(x)sin(nx)|_0^{\pi/2}-\frac{1}{n}\int_0^{\pi/2}nsin(nx)cos^{n-1}(x)(-sin(x))dx$<br />$=\int_0^{\pi/2}cos^{n-1}(x)sin(nx)sin(x)dx$<br />$2L_n=\int_0^{\pi/2}[cos^{n-1}(x)sin(nx)sin(x)+cos^n(x)cos(nx)]dx=\int_0^{\pi/2}cos^{n-1}(x)(cos(nx)cos(x)+sin(nx)sin(x))dx$$=\int_0^{\pi/2}cos^{n-1}(x)cos((n-1)x)dx=L_{n-1}$<br />所以 $L_n=\frac{1}{2}L_{n-1}$ 而$L_1=\int_0^{\pi/2}cos(x)cos(x)dx=\pi/4$<br />所以数列的通项表达式为：$L_n=\frac{\pi}{2^{n+1}}$
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<a name="eHWDx"></a>
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## 3.3其他函数
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_**Example：**_<br />求 $I_n=\int_0^1x^m(ln(x))^ndx$ 的递推表达式和通项。
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<br />_**Exercise:**_<br />_****（3）求$a_n$的极限<br /><br /><br /><br />（3）结果为0，证法和高阶三角函数一样。
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<a name="P1sfa"></a>
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# 四：利用级数对定积分进行估值
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<a name="kHp6e"></a>
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## 4.1常用的几种级数
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基本的思路是：把函数做泰勒展开，交换积分和求和符号，对每一项幂函数进行积分，最后合并即可。<br />下面给出三个重要常数：
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（a）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ （b）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=ln2$ （c）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2m-1)^2}\approx0.92$
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此类级数可由初等函数泰勒展开后将x=1或x=-1代入得到。
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这里给出简单的证明：<br />（a）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$<br /><br />（b）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=ln2$ <br />
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<br /> <br />（c）$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2m-1)^2}\approx0.92$<br />$\int_0^1\frac{arctan(x)}{x}dx=\int_0^1\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}dx=\int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}\int_0^1x^{2n}dx$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^2}x^{2n+1}|_0^1=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^2}=G\approx0.92$ （这可以利用计算机对此积分估值得到）
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在计算积分时，通常通过上述思路把积分化为上述重要常数，进而直接得出结果。
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<a name="u2lJV"></a>
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## 4.2将定积分转换为级数
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_**Example1：重要常数（a）**_<br />$\int_0^1ln(x)ln(1-x)dx$<br />答案：<br />[视频链接](https://www.youtube.com/watch?v=q9jbmEGClSk&list=PLj7p5OoL6vGzJxJU1seMmj-5CBNhMYStQ&index=8)<br />_**Example2：重要常数（c）**_<br />（a） $\int_0^{\pi/4}ln(tan(x))dx$ （b） $\int_0^{\pi/4}ln(cot(x))dx$<br />对于（a），令$t=tan(x)$ ，换元后可得：<br />$\int_0^1ln(t)d arctan(t)=[ln(t)arctan(t)]|_0^1-\int_0^1arctant\frac{dt}{t}=-\int_0^1arctant\frac{dt}{t}=-G\approx-0.92$
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<a name="gTeyn"></a>
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# 五：特殊积分
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<a name="xksxJ"></a>
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## 5.1伽马函数
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<br />维基百科点击下方链接：<br />[WIKI百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/%CE%93%E5%87%BD%E6%95%B0)<br />下面为详细的视频教程<br />1：定义伽马函数<br />[视频链接](https://www.youtube.com/watch?v=L4Trz6pFut4&t=21s)<br />2：$(\frac{1}{2})!$<br />[视频链接](https://www.youtube.com/watch?v=dBmApl6gkII&t=5s)<br />3：$(-1)!$<br />[视频链接](https://www.youtube.com/watch?v=MfP2FQPBdHI&t=294s)<br />4：$n!!$<br />[视频链接](https://www.youtube.com/watch?v=imcooZyo4vE)
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<a name="kCups"></a>
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## 5.2分段函数积分
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此类题目的关键是原函数的连续性要求，通过待定系数求解，具体见不定积分中的[特殊积分部分](https://www.yuque.com/uhhida/tcgb6r/dg7du1)。
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<a name="GuHd2"></a>
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## 5.3变限积分
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形如$I(x)=\int_a^xf(t)dt$ 的积分叫做变限积分，他的本质是一个自变量在积分限的函数。<br />变限积分的求导法则尤其重要。此类题目需要扎实的数学分析思想，极其易错，具体内容见[积分证明框架](https://www.yuque.com/uhhida/tcgb6r/pcc7t2)。
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<a name="lr1ZN"></a>
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## 5.4反常积分
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具体内容见[积分证明框架](https://www.yuque.com/uhhida/tcgb6r/pcc7t2)
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<a name="AZJ0a"></a>
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# 六：定积分的应用
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<br /><br />我们可以看到定积分的本质就是微元法取极限，所以一些几何和物理问题都可以用微元法的思想解决。<br />_**Example1：**_<br />已知一段半圆弧电荷密度为+1，计算圆心处的电场强度。<br /><br />注意，这类题目直接用几何解法更快，由库仑定律得，两段对称的微弧对圆心的电场作用为：<br />$\Delta E=2\Delta E'cos\theta=\frac{2k\Delta lcos\theta}{R^2}=\frac{2k\Delta r}{R^2}$<br />$\Delta r$代表上图小三角形垂直部分，$\sum \Delta r=R$ ，所以：<br />$E=\sum\Delta E=\frac{2k}{R^2}\sum\Delta r=\frac{2k}{R}$<br />_**Example2：**_<br />我们可以利用微元法找到极坐标的面积公式<br /><br />
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<a name="bh4SN"></a>
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## 6.1几何问题
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<a name="oDven"></a>
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#### 6.1.1向量簇
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请下载：[New horizons in geometry(几何新视野).pdf](https://www.yuque.com/attachments/yuque/0/2019/pdf/422826/1564708063142-a6a603c9-ef19-42c5-bbac-3a746583ac46.pdf?_lake_card=%7B%22uid%22%3A%22rc-upload-1564707962520-4%22%2C%22src%22%3A%22https%3A%2F%2Fwww.yuque.com%2Fattachments%2Fyuque%2F0%2F2019%2Fpdf%2F422826%2F1564708063142-a6a603c9-ef19-42c5-bbac-3a746583ac46.pdf%22%2C%22name%22%3A%22New%20horizons%20in%20geometry(%E5%87%A0%E4%BD%95%E6%96%B0%E8%A7%86%E9%87%8E).pdf%22%2C%22size%22%3A9849775%2C%22type%22%3A%22application%2Fpdf%22%2C%22ext%22%3A%22pdf%22%2C%22progress%22%3A%7B%22percent%22%3A0%7D%2C%22status%22%3A%22done%22%2C%22percent%22%3A0%2C%22id%22%3A%227fZdG%22%2C%22card%22%3A%22file%22%7D)阅读第一章。<br />这里只讲一个拓扑定理：切线向量扫过的面积等于将这些向量在不改变方向和长度的情况下，将所有的向量尾部接到一起时所组成的图形的面积相等。即切线扫过的面积等于切线簇的面积，如图所示。<br /><br />想象一辆自行车，其尾部车轮始终与某一闭合轨迹相切，也就是骑了一圈，那么无论骑行轨迹如何，自行车车身划过的面积始终不变。如上图所示，将一簇切线在不改变方向和长度的情况下尾部连接在一起，他们所组成的形状面积和原来扫过的面积相同，且原来图形的形状可以任意。<br />和开普勒第二定律及椭圆面积的关系：[视频链接](https://www.bilibili.com/video/av28012188)<br />_**Example3：**_<br />利用该定理证明$\int_{-\infty}^{x}e^{t/b}dt=be^{x/b}$<br /><br />显然，所有切线构成的三角形底边长度都是1，把所有的切线全部放到黄色三角形内，尾部连接在一起，就得到积分的面积是两倍三角形的面积，即$be^{x/b}$。<br />_**Example4：**_<br />利用该定理求摆线下方的面积。<br /><br />摆线相关知识点击：[维基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%91%86%E7%BA%BF)<br /><br />由于PT垂直于PC（在圆内），又因为点P在每个瞬时相对于点C做圆周运动，所以PT必然是点P的切向运动方向，所以PT也是摆线的切线，DOT的面积（及切线扫过的面积）等于右图中切线簇的面积（将所有切线平移到点T）。更具体的说，圆在运动时，点P划过了一段圆弧，在每一个中间点，都可以做线段PT，线段PT既扫过了DOT，也同时覆盖了T'P'C'，故两者面积相等。<br />当圆旋转一周时，切线划过了整个摆线上方的面积，这面积等于切线簇的面积$\pi R^2$，而整个矩形的面积是$2\pi R\cdot 2R=4\pi R^2$，所以摆线下方的面积为$4\pi R^2-\pi R^2=3\pi R^2$。<br />利用参数方程的证明方法见下文。
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<a name="V1fjC"></a>
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#### 6.1.2体积
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这里依然是微元法，我们讲两种求旋转体体积的方法：切片法和圆柱法<br />**切片法：**<br /><br />A(x)就是x处物体的面积，$\Delta x$就是高度，两者相乘就是和x有关的一个体积微元，求和或积分后就得到了整个体积。<br />_**Example5：**_<br />求$y=x$和$y=x^2$中间的部分绕$y=2$旋转一周所得到的图像的体积。<br /><br />本题的关键是千万不要把正负号弄错，x和y的正负号永远是对原始图像而言的！！！<br /><br />_**Example6：**_<br />求$y=x$和$y=x^2$中间的部分绕$x=-1$旋转一周所得到的图像的体积。<br />
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**圆柱法：**<br /><br />如图所示，$x_L和x_R$比较难求，当边界无法被解析式表达时，我们对垂直于旋转轴的底面做圆柱分解。<br /><br /><br /><br />一小段圆柱的体积=底面积：$2\pi xdx$ 乘以 高：$f(x)$，之后对自变量求积分。<br />_**Example7：**_<br />_****_<br />_****_<br />注意：在本题中，圆柱法比切片法简单的多，由于不用求边界，对于具体的题目，根据情况选择两种方法即可。_
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<a name="jM2iM"></a>
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#### 6.1.3弧长和表面积
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求弧长的方法十分显然，该方法也适用于极坐标，只需用微元法得到公式。<br /><br /><br /><br />求表面积的方法也是微元法，如下图所示：<br /><br />已知圆锥表面积是$\pi rl$，现在试图求解一段圆台的表面积，它等于两个圆锥相减。<br /><br /><br /><br />如上图所示，将任意旋转体分成无数小圆台，进行求和即可（这里为什么不能用圆柱做微元法？）。<br /><br />最后我们得到了表面积的表达式：<br /><br />_**Example8：**_<br />
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#### 6.1.4极坐标和参数方程
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**参数方程：**<br />参数方程本质就是把x和y想成某个变量t的函数，利用链式法则可以把微积分的计算用参数方程实现。<br />微分：<br /><br />求面积：<br /><br />求长度：<br /><br />_**Example9：**_<br />我们以摆线为例，将摆线方程建模为关于转动角度的函数，如下图所示。<br /><br /><br />摆线的面积：方法只是简单的换元。<br /><br />摆线的周长：<br /><br /><br />摆线相关知识点击：[维基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%91%86%E7%BA%BF)<br />摆线的本质是最速降线，请看3B1B的视频：[视频链接](https://www.bilibili.com/video/av6385842)<br />另一个相关视频：[费马小定理](https://www.bilibili.com/video/av4283063)<br />**极坐标：**<br />极坐标求面积公式前面已给出：<br /><br />求弧长的公式推导依然是微元法：<br /><br /><br />更直观的方法是：弧长显然等于径向速度与法向速度之和。$\Delta l=\sqrt{(dr)^2+(rd\theta)^2}$<br />_**Example10：**_<br />
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_**Example11：**_<br />本题请务必自己手算一遍。<br />_****_<br />_****_
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## 6.2物理问题
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#### 6.2.1质心
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<br />质心和势相关，是力学中研究旋转的概念，质心和势一般来说是对于某个转轴的定义。<br />质心是一个点，在这点上施加外力不会引起系统的旋转。<br />势是物体旋转的惯性，表示在施加外力后系统旋转的能力。<br />如上图所示，区域R具有恒定密度，它相对于y轴和x轴的势计算方法如下：<br />（相当于每个矩形到y轴距离x乘以每个矩形面积f(x)dx）<br />（相当于每个矩形中点到x轴距离f(x)/2乘每个矩形面积f(x)dx）<br />上式除以总质量就得到了质心：<br /><br />_**Example12：**_<br />
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#### 6.2.2电磁场
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_**Example13：**_<br />一根电荷密度为+1的，长度为L的直导体棒，求距离其中点a的一点的电场强度。<br /><br />提示：第一种做法是通过微元法转换成积分，第二种做法是找出与其等价的圆弧。<br />答案：[点击链接](https://www.bilibili.com/video/av55298726)
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## 6.3一题十解
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_**Example14：**_<br />求$Ax^2+2Bxy+Cy^2=1(A>0,AC-B^2>0)$所围图形的面积。<br />解1：
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<br />另外十种解法为：参数方程，极坐标，微分，二重积分，条件极值，线性代数等，具体参见吉米多维奇。
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